Il PARADOSSO DEI COMPLEANNI

Qual è la probabilità che almeno due persone nella stessa classe compiano gli anni lo stesso giorno dell’anno? I risultati dell’indagine statistica. 

della Classe 4A

La matematica che studiamo tutti i giorni a scuola può sembrare talvolta una disciplina senza un’applicazione concreta nella realtà; in realtà è interessante capire come sia possibile correlare la vita di tutti i giorni con gli argomenti che affrontiamo coi nostri professori. Questo è proprio quello che abbiamo cercato di fare noi alunni della 4^A: assieme alla professoressa Mazzali Lucia abbiamo cercato di studiare un fenomeno che possiamo ritrovare nella nostra vita quotidiana attraverso la matematica, in particolare attraverso la probabilità.  

La nostra ricerca si è basata sulla domanda: “qual è la probabilità che in una classe ci sia almeno una coppia di studenti nati lo stesso giorno?”. Prima di calcolare il risultato teorico abbiamo deciso di svolgere un’indagine statistica ponendo questo interrogativo a più classi possibili dell’istituto, in modo da svolgere una ricerca su un campione abbastanza esteso.  

La classe si è divisa in coppie di studenti che avevano il compito di chiedere alle classi interpellate il numero di studenti presenti nella classe e se ci fossero persone nate lo stesso giorno. Alla fine dell’indagine siamo riusciti ad includere nella ricerca in totale 59 classi dell’istituto: in 29 di esse era presente almeno una coppia di persone nate lo stesso giorno.  

Pertanto, la probabilità statistica dell’evento “c’è almeno una coppia di persone nate lo stesso giorno nella classe” risulta circa ben il 50%, essendo quest’ultima definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli di un evento (in questo caso 29) e il numero di elementi compresi nel campione (in questo caso 59).  

Oltre all’indagine statistica abbiamo scoperto che è possibile calcolare la probabilità dello stesso evento anche a livello teorico utilizzando la teoria della probabilità elaborata da Kolmogorov (1933); infatti possiamo considerare la probabilità dell’evento E = “c’è almeno una coppia di persone nate lo stesso giorno nella classe” attraverso la formula P(E)=1−P(Ē), in cui Ē si riferisce all’evento contrario rispetto all’evento E (quindi “nessuna persona nella classe è nata lo stesso giorno”, ovvero “tutti gli studenti della classe sono nati in giorni diversi”). Il passo successivo è stato quello di ipotizzare un modello di “classe ideale”, considerando come numero di studenti la media del numero di studenti delle varie classi (ovvero una media di 23 persone per classe). Attraverso il calcolo combinatorio abbiamo capito che la probabilità per 23 studenti di essere nati in giorni diversi si può calcolare ragionando sui “giorni disponibili durante l’anno per nascere”: se la prima persona avrà 365 giorni disponibili su 365 per nascere in un giorno diverso dai suoi compagni (quindi una probabilità dell’100%), la seconda ne avrà invece 364  su 365, ovvero 365 meno quello già occupato dalla prima persona (e quindi una probabilità del 99,7%); per il terzo sarà invece 365-2 su 365, e così via fino ad arrivare alla 23esima persona che avrà 343 giorni disponibili su 365, con una probabilità quindi del 93,7% di nascere in un giorno diverso dai suoi compagni precedenti. Tutte queste cifre dovranno essere moltiplicate fra loro, dato che la nascita di ciascun studente della classe si può considerare come un evento indipendente. Infine questo prodotto dovrà essere sottratto a 1 in quanto, una delle deduzioni derivanti della teoria della probabilità elaborata da Kolmogorov afferma che P(E)+P(Ē)=1.  

Il calcolo risultante è quindi:

P(E) = 1 - \frac {365} {365} \times \frac {364} {365} \times ... \space \times \frac {343} {365} = 1 - 0,493 \backsim 50 \%

Ecco quindi come il dato teorico conferma quello sperimentale trovato durante la ricerca della classe.  

Questa indagine oltre a farci capire come la matematica possa avere un’applicazione concreta nella nostra vita di tutti i giorni, ci mostra un risultato alquanto sorprendente: probabilmente nessuno di noi si sarebbe aspettato di avere una probabilità del 50% di trovare almeno una coppia di persone nate lo stesso giorno in una stessa classe! Questo succede perché la nostra mente non è in grado di ragionare con numeri molto grandi inseriti in un fenomeno ampio con molte possibilità, inoltre siamo portati a considerare la nostra nascita come un evento unico ed irripetibile. Tutto questo, insomma, ci dimostra come le applicazioni reali della matematica siano sorprendentemente affascinanti.